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大学一年次に学ぶこと

微分積分

代数学,幾何学とともに,数学の根幹をなす解析学について,その基本的な考え方や方法を学ぶ.力学における運動方程式などに代表されるように,自然界の多くの現象が,微分積分学を用いて記述される.微分積分学は,あらゆる科学技術の基礎となっている.微分積分学は17世紀末に,ニュートンやライプニッツらによって創成された.ニュートンは量の変化の記述に注目し,速度,加速度などの物理量を表現するために微分の概念を導入した.「微分積分学の基本定理」により,区分求積法によって定義される積分は,微分の逆操作であることが,明確に認識されるようになった.

微分積分学では,極限をとること,無限和をとることなどの操作が重要な役割を果たす.このような微分積分学の基礎となる極限の厳密な定義は,19世紀後半から整えられていった.この授業では,「数理科学基礎」で学んだ極限の扱いに基づき,微分積分学の基礎と応用を学ぶ.具体的な項目は以下の通りである. S2タームで項目1,2を扱い,Aセメスターで項目3~6を扱うことを目安とするが,担当教員によって,順序や内容に一部変更が加えられる場合がある.

  1. 一変数関数の微分 (微分の基本性質,テーラーの定理,テーラー展開)
  2. 多変数関数の微分 (偏微分と全微分,合成関数の微分の連鎖律)
  3. 多変数関数の微分(続き)(高階偏微分,多変数のテーラーの定理とその応用)
  4. 一変数関数の積分 (区分求積法,微分積分学の基本定理)
  5. 多変数関数の積分 (多重積分と累次積分,多重積分の変数変換公式)
  6. 無限級数と広義積分 (関数列の収束,広義積分)

演習微分積分 ((サイエンスライブラリ―演習数学))

演習微分積分 ((サイエンスライブラリ―演習数学))

線形代数